Это и есть радиус сферы Эйнштейна.

Для тех же, кто находится на границе сферы, начать движение, по той же логике, невозможно: чтобы пройти 10 метров, сначала надо пройти 1 метр, а для этого надо прежде одолеть 1 сантиметр и т. д.

На бытовом уровне можно сказать так: изменять мерку в процессе измерения является логической ошибкой.

Отметим, это важно для понимания Кантора, последний прилежно изучал Гегеля. Немец Кантор начал публиковаться приблизительно через тридцать лет после выхода в свет «Науки логики» немца Гегеля, и не быть знакомым с этим знаменитым в то время трудом он не мог, поскольку язык и логики их очень похожи: рассуждения об «одно» и о «много», о «ничто» и о «нечто», о переходе одного «нечто» в другое «нечто», о «свечении» одного «нечто» в другом «нечто» — это любимые темы Гегеля, подробнейшим образом рассмотренные им в его «Учении о бытии» [3]. Кантор толкует о том же самом, только другими словами: о точках (числах), о множествах, о свечении (эквивалентности) одного множества в другое. Но вот незадача: автором установлено, что «Наука логики» — это всего лишь учебник схоластики, иначе говоря, пособие по пустопорожним словопрениям, к науке отношения не имеющее [1].

В своем доказательстве эквивалентности прямой и плоскости Кантор прячется за числа, и не бросается в глаза, что сравниваются несравнимые величины. Это все равно, что сравнивать килограммы с метрами. И именно здесь, на уровне идентификации, Кантор выходит за рамки математики и переходит в область схоластики: оперирует с числами, которыми он обозначает точки, которые, в свою очередь, не имеют размера.

только вместо символа нуль поставлен символ бесконечности. Именно так «доказана» эквивалентность пространств размерностей 1 и 2.

Следует согласиться с Н. Бурбаки [2], что действительные числа были вызваны к жизни потребностью измерения непрерывных величин. Отсюда понятно желание присвоить непрерывность и множеству действительных чисел, но сама непрерывность множества действительных чисел отсюда не следует.

Говорить об эквивалентности метров линейных и метров квадратных можно, во-первых, отвлекаясь от из размерности (это есть первый неправомерный, но не всегда заметный схоластический ход); во-вторых, неявным образом жонглируя понятием актуальной бесконечности, так как такой объект, как не имеющая размеров точка (либо число, эту точку изображающее) суть не что иное, как нуль, который связан с актуальной бесконечностью обратным отношением. Это есть второй неправомерный схоластический ход.

Подчеркнем еще раз: у точек нет самостоятельного бытия. Точки могут лишь служить границами имеющих бытие объектов. Но постепенно, особенно с работ Декарта, точкам начали присваивать бытие. И ситуация получается довольно занятная: человек сам точки придумал, и сам же после озаботился их пересчетом; пересчетом того, чего нет. Тут-то и открылось необъятное поле для фантазии. Д. Гильберт пришел от этого в экстаз и вдохновенно возгласил: «Никто не изгонит нас из рая, созданного для нас Кантором!» А вот гигант А. Пуанкаре, математик всеобъемлющей эрудиции — уровня К. Гаусса и. Л. Эйлера, видел вещи иначе. В начале двадцатого века он высказался: «Я полагаю, математика когда-нибудь излечится от этой болезни — от теории множеств».

Ключевым понятием теории множеств является понятие эквивалентности (равномощности) множеств. Понятие это, хотя до конца и непонятно, нужно ли оно вообще еще где-нибудь, кроме самой теории множеств, тем не менее представляется прозрачным, непротиворечивым и надежным. Например, множество целых чисел эквивалентно множеству чисел четных:

Прозрачность эта начинает исчезать, как только мы замечаем, что как на границах множеств, так и на самих множествах, взятых как законченные целые, эквивалентность вырождается в бессодержательные тождества:

С помощью аффинного преобразования показывается, что множества точек любых двух отрезков эквивалентны между собой. Это тоже представляется непротиворечивым и прозрачным. Однако и здесь как на границах множеств, так и на самих множествах, взятых как законченные целые, то есть как актуальные бесконечности, эквивалентность превращается в те же бессодержательные тождества.

Отсюда предварительно напрашивается: понятие эквивалентности множеств имеет смысл на некотором ограниченном интервале (области), между тем как законность решения распространить (продолжить) его на множества безграничные и законченные (на актуальные бесконечности) не очевидна.

Поставим «невозможный» вопрос: какое множество имеет большую мощность — множество целых или множество действительных чисел? Для ограниченного интервала этих множеств ответ очевиден. Если же эти множества брать как завершенные данности, то ответ становится не так очевидным. Не видно критерия, по которому можно отличить одну безграничную бесконечную величину, взятую как завершенное целое, от другой.

Вместо ответа именно на этот вопрос всегда предлагается ответ на другой вопрос: чем отличается на заданной ограниченной области множество целых чисел от множества действительных чисел? В ответе на второй вопрос — да, можно воспользоваться критерием эквивалентности.

Уже при сравнении пространств различной размерности алгеброй не обойдешься: поскольку точка размера не имеет, речь, по сути, идет о том, сколько «ничто» разместится в некотором «нечто». При таких посылках не только прямая эквивалентна плоскости, но эквивалентны между собой все непрерывные пространства различных размерностей. Само понятие эквивалентности при этом размывается и теряет смысл.

Известно, что структура любого объекта может быть определена исходя из таковой на его границах. Каждое абстрактно взятое бесконечное множество имеет одни и те же границы — нуль и бесконечность. Соответственно и различать актуальные бесконечности нет оснований.

(Пользуясь отсутствием размера у точки, ставят вопрос о множестве кардинальных чисел. Законность постановки самого этого вопроса «узаконил» Цермело своей аксиомой о степени множеств [5].)

Теория множеств считается сегодня базисом всего здания математики. На мой взгляд, не сама теория множеств, а лишь ее язык. Схоластичность, соответственно и бесплодность таких разделов, как раздел о кардинальных числах или толки о континуум-гипотезе видны уже из того, что нигде, кроме самих этих теорий, применения найти не могут.

В матанализе под понятием «бесконечность» всегда понимается одно и тоже: нет двух различных бесконечностей, есть лишь разные скорости приближения к бесконечности. Соответственно, нет и двух разных нулей.

Создатели матанализа исходили из понятия величины, которая считалась априори непрерывной. На понятии непрерывности построен весь матанализ: понятие точки (числа) было вспомогательным.

С проникновением в умы математиков теоретико-множественных идей, которые, подчеркнем, формально-логически безупречны, возник соблазн перестроить матанализ, а после и прочие разделы математики, исходя уже не из величины, а из множества, в частности числового. Но без непрерывности — никуда, и логика привела: если матанализ верен, и если теоретико-множественные представления верны, то вывод следует сделать только один: множество действительных чисел — непрерывно.

Сам матанализ от такой перестройки ничего не приобрел, но ничего и не потерял. Сменился лишь язык: вместо «непрерывная величина» стали говорить «непрерывное множество».

Процесс этот происходил примерно так.

Во второй половине XIX века группа энергичных и настроенных мыслить исключительно аналитически математиков решили, что геометрические представления в математике не уместны, так как, по их мнению, нарушают строгость доказательств. Но поскольку без понятия непрерывности в матанализе и шагу ступить невозможно, а понятие это прежде всего геометрическое (конечно, в физике много и иных непрерывных величин), то свойство непрерывности просто взяли и перетащили из геометрии на множество действительных чисел, сформулировав для этого соответствующую аксиому.

Если раньше говорили, что прямая есть геометрическое место точек, то теперь стали говорить — прямая есть множество точек.

Одним из первых озаботился, кажется, Дедекинд [4]. Но каких-либо серьезных обоснований этому факту перетаскивания не представил. Многочисленные попытки придать сему факту научность так ни к чему и не привели. А попытки эти были, потому как чувствовали математики, что не все ладно с этой самой непрерывностью множества действительных чисел; чувствовали, что уже само словосочетание «непрерывное множество» представляется абсурдным, потому что множество потому и множество, что состоит из отдельных элементов.

Вот некоторые из этих попыток.

Все эти подходы эквивалентны между собой (строго говоря, некоторые из них не вполне эквивалентны), что естественно, так как они пытаются описать одно и то же свойство — непрерывность. И все они сводятся к той или иной формулировке непрерывности геометрического объекта — линии. Это неизбежно, поскольку понятие непрерывного пространства является первичным. Когда же за первичное понятие взяли множество, тогда и встал неразрешимый вопрос, как из точек сконструировать пространство. Задача эта на логическом поле не имеет решения и завуалируется словом «континуум».

Рассмотрим кратко логику приведенных выше принципов непрерывности.

Поскольку числовая ось непрерывна, давайте считать непрерывным и множество действительных чисел. В этих трех пунктах начинается и заканчивается весь Дедекинд, и добавить тут нечего. Однако он зачем-то придумал понятие сечения — разбиение множества действительных чисел на два класса — и зафиксировал очевидный факт: каждому сечению соответствует одно число, и каждому числу соответствует одно сечение. Имея в виду лишь вещественные числа, он их линейную упорядоченность молчаливо предполагает. Далее он отметил еще один очевидный факт: сечение можно задать как на геометрической прямой, так и на множестве действительных чисел, при этом рассуждения о сечении на прямой и на множестве действительных чисел совпадают с точностью до терминологии. Собственно, в этом вся логика Дедекинда, и в этой логике состоит весь его принцип непрерывности. Между тем, ничто не мешает задать сечения Дедекинда на множестве целых чисел, но непрерывность множества целых чисел от того еще не последует.

Заметим: половина рассуждений Дедекинда вертится вокруг геометрического объекта — числовой оси.

Вывод: сечения Дедекинда — всего лишь попытка придать видимость научности недоказуемому факту непрерывности действительных чисел.

Но: если непрерывный отрезок уже задан, то нет необходимости доказывать его непрерывность. А если непрерывность его только доказывается, то неправомерно пользоваться понятием предела, который сам предполагает непрерывность. Вообще же в лемме речь идет об отрезках и точках, а никак не о числах. Числа просто присваиваются точкам. В итоге лемма исходит из тех же посылок, что и Дедекинд. Крамольный вопрос — как же из не имеющих размера точек сконструировать имеющий размер отрезок — повисает в воздухе.

Здесь снова речь идет о геометрических объектах – об отрезках.

Доказательство этой леммы непосредственно опирается на непрерывность числового множества.

Если для построения «все более высоких этажей» здания математики «непрерывность множества действительных чисел» является удобным понятием, позволяющим кратко и выпукло, а главное — адекватно формулировать математические тезисы, при этом адекватно формулировать лишь постольку, поскольку в этих формулировках точки используются только как границы, то при изучении фундамента математики — самой теории множеств, это самое перетаскивание непрерывности имеет негативные и далеко идущие последствия, поскольку точки здесь используются как строительный материал.

Действительно, если множество действительных чисел непрерывно, то можно объявить биекцию его и отрезка, который остался непрерывным. Обращаю внимание — не точек отрезка, а именно самого отрезка.

Или: если множество действительных чисел непрерывно, то непрерывно и множество всех точек отрезка. Стало быть, это множество всех точек отрезка и есть сам этот отрезок.